入力フォームに「申請日」という項目があり、自動入力するようになっていればいいんじゃね？
ということで、以下サンプルです。
<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
<meta charset="utf-8">
<title>sample</title>
</head>
<body>
<form>
<input type="text" name="today" value="ここに日付">
</form>
<script>
(function() {
var myDate = new Date();
var Year = myDate.getFullYear();
var Month = myDate.getMonth() + 1;
var Day = myDate.getDate();
if ( Day < 10 ) Day = "0" + Day;
document.forms[0].elements["today"].value = Year + "-" + Month + "-" + Day;
})()
</script>
</body>
</html>
表示させたいinputのname値を環境にあわせて変更すればOKです。